Anteriormente, defini evidência como “um evento emaranhado, por elos de causa e efeito, com tudo o que você deseja saber” e emaranhado como “ocorrendo de forma diferente para diferentes estados possíveis do alvo”. Então, quanto emaranhamento — quanta evidência — é necessário para sustentar uma crença?
Vamos começar com uma pergunta simples o suficiente para ser respondida pela matemática: Qual é a dificuldade de se ganhar na loteria? Suponha que existam setenta bolas, sorteadas sem reposição, e que são necessários seis números para a vitória. Portanto, existem 131.115.985 combinações vencedoras possíveis, ou seja, um bilhete selecionado aleatoriamente teria uma probabilidade de 1/131.115.985 de ganhar (0,0000007%). Para ganhar na loteria, você precisaria de evidências seletivas suficientes para favorecer uma combinação entre 131.115.984 alternativas.
Imagine que existam testes capazes de discriminar probabilisticamente entre os números vencedores e perdedores da loteria. Por exemplo, você pode colocar uma combinação em uma caixa preta que sempre emite um sinal sonoro se a combinação for vencedora, e tem apenas 1/4 (25%) de chance de apitar se a combinação estiver errada. Usando a abordagem bayesiana, podemos dizer que a razão de verossimilhança é de 4 para 1. Isso significa que a caixa tem quatro vezes mais chances de apitar se a combinação for vencedora, em comparação com a probabilidade de apitar para uma combinação perdedora.
Ainda assim, há muitas possibilidades de combinações. Se você inserir 20 combinações incorretas, a caixa apitará para 5 delas por coincidência (em média). Se você tentar todas as 131.115.985 combinações possíveis, a caixa certamente apitará para a combinação vencedora, mas também para outras 32.778.996 combinações perdedoras (em média).
Assim sendo, essa caixa não fará você ganhar na loteria, mas já é alguma coisa. Se você a utilizar, suas chances de ganhar aumentariam de 1 em 131.115.985 para 1 em 32.778.997. Dessa forma, você terá avançado na busca pelo seu objetivo, a verdade, em meio ao vasto espaço de possibilidades.
Digamos que você possa usar outra caixa preta para testar as combinações duas vezes, independentemente. Ambas as caixas irão com certeza apitar para o bilhete premiado. No entanto, a chance de uma caixa apitar para uma combinação perdedora é de 1/4, independente de cada caixa. Portanto, a chance de ambas as caixas apitarem para uma combinação perdedora é de 1/16. Podemos afirmar que a evidência cumulativa de dois testes independentes tem uma razão de verossimilhança de 16:1. O número de bilhetes de loteria perdedores que passarão em ambos os testes será, em média, de 8.194.749.
Considerando que existem 131.115.985 bilhetes possíveis na loteria, podemos supor que precisemos de evidências tão fortes quanto 131.115.985 para 1 – um evento ou série de eventos com 131.115.985 vezes mais probabilidade de ocorrer para uma combinação vencedora do que para uma combinação perdedora. No entanto, essa quantidade de evidências seria suficiente apenas para lhe dar uma chance uniforme de ganhar na loteria. Por quê? Porque se você aplicar um filtro dessa potência elevada a 131 milhões de bilhetes perdedores, haverá, em média, um bilhete perdedor que passará pelo filtro. O bilhete premiado também passará pelo filtro. Portanto, você terá dois bilhetes que passaram pelo filtro, mas apenas um deles será o vencedor. Se você puder comprar apenas um bilhete, suas chances de ganhar serão de cinquenta por cento.
Uma maneira mais clara de entender o problema é a seguinte: inicialmente, há um bilhete vencedor e 131.115.984 bilhetes perdedores, o que significa que suas chances de ganhar são de 1 em 131.115.984. Ao usar uma única caixa preta, a chance da caixa apitar é de 1 para o bilhete premiado e de 0,25 para um bilhete perdedor. Portanto, multiplicamos 1 em 131.115.984 por 1 em 0,25 e obtemos 1 em 32.778.996. Se adicionarmos outra caixa de evidência, as chances serão multiplicadas novamente por 1 em 0,25, resultando em 1 bilhete vencedor para cada 8.194.749 bilhetes perdedores.
É conveniente medir as evidências em bits — não como os bits de um disco rígido, mas os bits dos matemáticos, os quais são conceitualmente diferentes. Os bits do matemático são os logaritmos, base 1/2, das probabilidades. Por exemplo, se houver quatro resultados possíveis A, B, C e D, cujas probabilidades são 50%, 25%, 12,5% e 12,5%, e eu disser que o resultado foi “D”, então transmiti três bits de informação para você, porque eu o informei sobre um resultado cuja probabilidade era 1/8.
Com 131.115.984 possibilidades de bilhetes, essa quantidade é um pouco menor que 2 elevados à 27ª potência. Assim, se 14 caixas de evidência ou 28 bits de informação fossem adicionados — um evento seria 268.435.456:1 mais provável de ocorrer se a hipótese de ter o bilhete vencedor for verdadeira do que se for falsa — as chances de ganhar mudariam de 1:131.115.984 para 268.435.456:131.115.984, o que pode ser reduzido para 2:1. Ter probabilidades de 2 para 1 significa que há duas chances de ganhar para cada chance de perder, resultando em uma probabilidade de ganhar de 2/3 com 28 bits de evidência. Acrescentar uma caixa, adicionando 2 bits de evidência, aumentaria as chances para 8:1, e mais duas caixas aumentariam as chances para 128:1.
Dessa forma, se o seu objetivo é ter uma forte convicção de que irá ganhar na loteria —definida arbitrariamente como ter menos de 1% de chance de estar errado, então você precisará de 34 bits de evidência sobre a combinação vencedora para alcançar esse objetivo.
Em geral, as regras para avaliar quantas evidências são necessárias seguem um padrão semelhante: quanto maior o espaço de possibilidades em que se encontra a hipótese, ou quanto mais improvável a hipótese parecer a priori em comparação com outras hipóteses, ou ainda, quanto mais confiante se deseja estar, maior será a quantidade de evidências necessárias.
As regras não podem ser desafiadas; crenças precisas não podem ser formadas com evidências inadequadas. Imagine que você tenha 10 caixas alinhadas e comece a testar combinações nelas. Não é aceitável parar na primeira combinação que faz as 10 caixas apitarem e dizer: “Mas a chance de isso acontecer com uma combinação perdedora é de um milhão para um! Ignorarei as regras Bayesianas e parar aqui”. Considerando o espaço de possibilidades e a improbabilidade inicial, você tirou uma conclusão muito forte com base em evidências insuficientes. Isso não é uma burocracia sem sentido; é matemática.
Claro, você ainda pode acreditar com base em evidências insuficientes, se quiser; mas não poderá acreditar com precisão. É como tentar dirigir um carro sem combustível, porque você não acredita na ideia tola de que precisa de combustível para se locomover. Seria muito mais divertido e muito mais barato se simplesmente revogássemos a lei que diz que carros precisam de combustível. Não seria ótimo para todos? Bem, você pode tentar, se quiser. Você pode até fechar os olhos e fingir que o carro está se movendo. Mas, para acreditar com precisão, é necessário o combustível das evidências e, quanto mais longe você quiser ir, mais combustível precisará.